Oct
14
2008
【这是大学毕业前写的文章，被收入上海市高教局研究室编《大学生谈学习方法》一书，华东师范大学出版社出版。】
思考在学习过程中的作用，好比食物的消化。只有通过思考，才能把书上的知识转变为“我的”知识，才能牢固地掌握它，并用以解决形式各异的实际问题。下面谈谈学习中的几类思考。
最基本的一类是归纳性的思考，就是将学得的知识按照逻辑的线索进行整理归纳。在中学里，我常常在复习备考时按照参照书上的目录，把一学期所学的主要内容复述一遍，感到这样做对清理思路有很大好处。进大学后，我把主要课程中的每一部分内容都做了书面小结，或用图表把全书的主要内容及其相互关系表示出来。几学期后，当我觉得课程内容有些淡忘时，翻看一下这些小结，就感到记忆犹新了。归纳并不等于抄书或摘要。这是因为我们用的教科书除了要把知识讲清楚外，还要考虑采用初学者容易接受的方法来讲。而我们学懂之后，就可以选择更加简明，清晰的线索来将这些知识贯穿起来。另外，书上通常是把基本原理和有关的推论，应用放在一起讲，但这两部分内容在总的结构中是主干和分枝的关系，在归纳时要区别对待。只要把基本原理这个“主干”抓住，推论和应用这个“分枝”也就一目了然了。可见，归纳的任务，主要是选择适当的联系线索和分清“主干”与“分枝”。而这必须在比较透彻地理解所学知识的基础上才能做到。例如我在学习热力学时，开始看到书上以很大篇幅引入各种热力学函数，并讨论其相互关系，就以为这些函数是属于“主干”的。后来仔细阅读教材后，才体会到这些函数是为在选用不同变量时应用热力学定律的方便而引进的，属于“分枝”。对一门课程可以进行归纳性思考，对某一较长的公式推导也可以应用这一方法。那就是搞清楚它的出发点（基本假设或基本定理）和推导中用到的较特殊的技巧。以及结果的意义。这样，自己随时可以补出推导的细节。
另一类是关联性思考，就是找出各种知识之间的联系。这里讲的主要是方法上的联系。往往有一些知识，它们分属于不同的理论系统，但处理方法上有共同之处。如数学中证明题类型是很多的，涵盖几何，多项式，三角，不等式，数论等等。但基本的证明方法和技巧相对来说就少得多了。又如，在中学物理中，利用代数方程是解物理题的重要手段。这里主要的困难是如何把物理形式变成数学形式来解答，其中包括假设未知数和列方程。在这方面，力学，电磁学，光学，热学都有一些基本方程可用，而应用这些方程的方法则是差不多的。在物理题中解方程还有一些特殊的方法，如利用对称性简化方程，对多根的解释和取舍，未知数个数比方程多时个别未知数的求解等，都有其共性。在理论物理中，守恒律及其应用也是一个普遍的问题。以上例子说明，各种知识之间的联系是普遍的，在这方面探索一下是很有趣的。如果说我们学得的知识是一个个点，那么我们可以用逻辑联系为经线，方法联系为纬线，将它们组成一张网。这样就可以“纲举目张”，而不感到它们凌乱孤立了。
如在学电动力学时，我们学了恒稳场，似稳场和交变场问题的解法，学完后我总觉得比较乱，遇到一个具体问题不容易判断该用什么方法。通过复习思考，我搞明白了，电动力学中的逻辑线索，就是在各种条件下解麦克斯韦方程。从恒温，似稳到交变的过程，就是把方程中被忽略的项逐项添回去的过程。因此，方程复杂了，解的方法并不复杂，只要设法把它化为基本形式的方程定解问题就可以了。这样，就找出了各种方法的异同点。同时，我又比较了局域电荷系统的静场和波动场的多极距解法，搞清了在这两种方法中展开对象和近视条件都不同，从而明白了为什么有些量在这里可以忽略而在那里却不可以忽略的道理。通过这些思考后，就没有“乱”的感觉了。
在中学里我遇到过这样一个事例。那时透镜成像公式是分凸透镜成实像，凸透镜成虚像，凹透镜成虚像三种情况，分别用相似三角形方法证明的，但结果一样，只是像距和焦距有时要取负数。我就想，这仅仅是巧合吗？后来发现，如果把像距和焦距理解为像点和第二焦点的坐标，这三个结果就真正统一了。据此，我用解析几何的方法给出了统一的证明。这样我就发现，虚像和实像的区别并没有我开始时想象得那么大，同时对几何光学中把光抽象为光线的方法理解也更深了。我想，这也可以归结成一类思考：探究性思考，即对一些看起来是巧合的现象找出比较本质的原因，把共同的现象归为共同的本质特征。我认为这类思考的价值倒不在于得到的结果，而在于通过思考加深了对所探究的现象的理解。
还有一类是对比性的思考。就是把两个相近的理论系统进行对比，如静电学和恒稳磁学。这也可以是两本书上对同一问题的叙述。通过这类思考，我们可以看到那些基本的特征（如静电场是无旋的而磁场是无源的）是怎样起作用的，从而加深对每个理论的理解。又如，在不同教材中往往将统一理论在不同的基础上引出。通过比较其中的等价性，就能搞清楚各个基本原理间的逻辑关系，以此来指导它们的应用。
思考，说到底是一种信息处理的过程，它必须在信息接受的基础上进行。因此，思考不能代替阅读。思考的对象来自阅读，思考的方法也来自于阅读。必须在广泛阅读和认真钻研的基础上来进行思考，因为借鉴其他专业的知识对开阔思路是有很大好处的。
由此可以看出，思考，作为学习过程中的一个重要环节，其实有值得探索的地方，而重视这个环节，掌握其中的规律，对于牢固掌握和应用学得的知识是很有益处的。
Oct
11
2008
【这是1978年的高中作文，曾被收入区“中学生作文选”并在《上海青年报》上刊登。当时的一些政治词汇现在看来很幼稚，但均予保留。】
大海与贝壳 （1978年）
“我不知道世人对我怎样看法，不过我自己只是觉得好像在海边玩耍的一个孩子，有时高兴地拾着一颗光滑美丽的贝壳，但是真理的大海，我还没有发现。”
这是伟大的科学家牛顿临终时讲的话。提起牛顿，人们立刻会想到万有引力和力学中的牛顿三定律。其实，牛顿不仅是力学的创始人，而且在天文，数学，光学等方面都做出了巨大贡献。这么一个伟人在临终时对自己作如此评价，使人不得不赞叹他的谦虚的美德。但细细品味，这是牛顿站在当时自然科学的顶峰，眺望无垠的未开拓的科学领域，说出的富有哲理，发人深思的话。
牛顿说他没有发现真理的大海，说明他认识到客观世界存在着无边无际的真理海洋，这更体现了他的伟大。而有些人自以为了解了大海，实际上只是碰到海滩上的几粒沙子而已，甚至可能连海边还没到呢。他们越是吹嘘，越暴露了他们对真理的无知，越暴露了他们的渺小。
贝壳与大海相比，是微不足道的。但是贝壳是大海的一个组成部分。人们掌握的知识与客观真理的关系也正是这样。
宇宙是无限的，宇宙中的真理也是无限的。它们都是能被人认识的。但就个别人的认识来说，不管谁，他们所认识的只能是其中有限的一部分。不管这部分比之前人或旁人是多么伟大，但与无限宇宙相比，总是渺小的。就像贝壳不管怎样美丽，总不能与大海相比一样。
社会科学也是一样。马列主义、毛泽东思想是防止四海而皆准的真理，但还没有穷尽真理的海洋。我们还要在革命实践中加以不断补充和发展。林彪、“四人帮”怀着不可告人的目的，把毛泽东思想说成是“顶峰”，那实际上是否定了无边无际的真理大海的存在，是对马列主义的反动。对这帮骗子，用得上恩格斯对自诩是“终极真理发现者”，江湖骗子杜林的怒斥：“无知的高傲”。
正如牛顿说期望的，他逝世后的三百多年来，人们已向真理的大海迈进了一大步，在牛顿奠定的经典力学基础上，产生了相对论、量子力学，等等。我们不仅拾到了贝壳，还发现了大海的其他宝藏。但这充其量也只是到了真理大海的边缘。让我们从一个个贝壳开始，继续向真理的海洋进军，为将来认识和驾驭整个宇宙而努力吧！
May
10
2008
哲人讲座(SageSeminar)是康奈尔大学中国留学生的一个学术团体。其名称来自校园里的SageHall，倒不是这些人狂妄到自称哲人。他们每月两次聚会，由一个人讲自己的专业或其它学术发展，然后是热烈的讨论，通常从晚饭后开始，到深夜才散。
我1985年到那里后不久，就听说了这个团体。我第一次去，正是颜海平讲“解构主义”。颜海平是电视剧“秦王李世民”的作者，也算我的大学同学。但直到那天我才第一次见到这位名人。她在讲演中用了个词vector。当时我只知道这个词在物理中意为“矢量”，但她讲的内容和矢量怎么也连不上。于是我就提了个问题。她解释了以后，反问我“矢量”是什么意思，似乎对于这个词有不同含义很感兴趣。讨论的时候，她又专门找我继续这个话题。我没想到第一次参加就受到重视，感到很对胃口，以后就几乎每次都去了。
当时参与哲人讲座的，有不少后来的名人。立时能想起的有：王绍光（现任香港大学教授，中国左派的代表人物之一），李振勤（科大少年班毕业生，第一届郭沫若奖得主，最早参与中国互联网建设的留学生之一，现在经常写财经方面文章），骆宁（后来曾任学自联主席），竺稼（后来曾任摩根士丹利中国总裁），贾庆国（现任北京大学国际关系学院副院长），杨志刚（曾任康大中国学生会主席，现在是海归长江学者）等。还有很多很有才华能力的同学，可惜我没有他们的音信了。
多年来我一直惋惜，没有把当时的笔记保留下来。虽然当年的热情和兴奋还历历在目，讲座的内容却记得不多了。还有些印象的有：王绍光讲文化大革命的社会根源（他的博士论文题目，后来出了书），竺稼讲文艺复兴的传统和创新（我听得一头雾水，终于相信自己没有文学细胞），李振勤讲多变量优化问题（我第一次听说NP复杂性的概念），黄洁讲全球变暖问题（比高尔早了二十年吧？），李松讲西方经济思潮（他当时是学生物的，后来改学经济。在华尔街工作几年后在香港开了个公司卖给了新浪，大概实现了他“四十岁退休”的理想），洛宁讲核武装（他一直对西方政治理论感兴趣，后来试图用在华人社团中，却不很成功），杨志刚讲柏杨和李敖（他酷爱读书，最大的享受就是几天不下床，醒了就读，饿了吃土豆片），楼望和讲唐山地震（他是文革前的大学毕业生，阅历极其丰富）等等。虽然只是挂一漏万，但讲座的深度广度也可见一斑了。1987年夏天，还组织过为期一周的“复杂系统”讨论会，有十一，二篇报告，都相当专业。
哲人讲座对中国的事务也很关心。很多讨论的内容是关于中国的体制，政治改革和文化的。不仅纸上谈兵，还付之于行动。在89年前，很多留学生（特别是学文科的）都是准备毕业后回去的。他们与国内的单位也保持一定联系。在哲人讲座中，介绍国内单位的现状，政策，趋势等也是一个重要活动内容。当时高能所开始建互联网，我们这里有些同学积极参与，在讲座中也有过热烈讨论。有一年因为延长护照的事，美国留学生与领馆发生对立，破天荒在报纸上发表了公开信。哲人讲座在讨论的基础上写了一份洋洋万言的《对留学工作的几点看法》，对留学生的派出，管理和回国安排等很多方面提出意见和建议，并通过渠道送到有关部门。据说曾达到国务院高层。86，87年之交时国内学生遭到整肃，在美留学生发表公开信声援。哲人讲座的几位同学参与起草班子，哲人讲座也多次讨论。89年哲人讲座对国内局势也非常关注，但已经是无力回天了。
我也给过几次报告。印象最深一次是讲神经网络。当时只是对这个课题感兴趣，但一点不懂。后来听人说贝尔实验室有个研究员来我校讲过，就给他写了封信索取讲稿。他还真把透明片给寄来了（当年还没有Email和PowerPoint，更没有Google）。有了这个基础后又看了一些论文恶补，就去开牙了。在准备报告时，我按照教科书的通常做法，先给出一般理论，然后用一些例子去说明。但报告一开始，听众就提出很多问题，我才发觉那些定义，定理很难让人直观地理解。于是我就跳到后面先讲例子，再反过来和例子对照着讲理论。事后想来，幸亏这个群体有随便提问的传统，不然我还真不知道自己的问题呢。这个教训我现在仍记忆犹新。
那次报告，一个我所心仪的女孩（后来成为我太太）也被热心的同学特意邀来听讲。所以我在她那里大概也得了些分。那是另一个故事了。
哲人讲座作为一个自发的学术团体能坚持多年，在留学生团体中也算是值得一书的篇章。毕业以后，我也遇到过不少志同道合的朋友。但象哲人讲座那样的群体，却再也无缘参与了。九十年代初，我曾倡议通过Email恢复活动。但也许大家都忙于事业生计，最终未能如愿。如今步入中年，通信手段也今非昔比，也许是重拾旧梦的时候了。
Oct
19
2007
1. 初试啼声
一九七七年秋的一天，我正随班级在乡下“学农”。有人来通知说，学校要我和另一个同学马上回去，帮助举办“科技周”。
当时正值粉碎“四人帮”后“拨乱反正”，又风传要恢复高考，正是文化学习蔚然成风之机。但是我们中学生还是在糊里糊涂混日子。虽然知道我们的命运会和哥哥姐姐们很不一样，但并不清楚该如何行动。“科技周”就是学校倡立学习风气的举措之一。
回校后，除了帮助设立一些展示外，我也参加了科技周的一些活动。其中之一就是一个几校联合的数学竞赛：在３０分种内完成１００道题目（当然是简单的了）。结果，我是唯一得满分的。答卷被贴在大楼里展览，还在学校广播里被表扬。
这是我第一次在学校里“露脸”，也是我与数学竞赛结缘的开始。
第二年，我被选拔参加了区里的竞赛，却是锻羽而归。谁知接着参加高一届的区竞赛，却拿了个不错的名次，而有参加78年市竞赛的资格。
那是文革后第一次举行数学竞赛，引起的社会的高度关注。从比赛到发奖，很多高级领导和著名数学家参加讲话，报纸也连篇报道。（顺便提一下，那年的全国竞赛第一名是李骏。他从下到上，场场夺冠。后来他复旦毕业后投师丘成桐。现在是斯坦福大学教授，国内兼任长江学者，复旦客座教授。那些嘲笑少年班学员“小时了了，大未必佳”的，应该看看李骏的例子。）
市数学竞赛是热火朝天，但我却经历了有生以来最大的滑铁卢。打开试卷，我唯一可夸口的是每道题都明白意思。但说到解答，则没有一题下得了手。这些题目和我以前见过的所谓“难题”简直是两个世界的产物。吭吭哧哧挨完了那几个小时（后来知道得了不到三十分），走出考场真有找不到北的感觉。生平第一次，我怀疑自己和数学是否有缘。
事后想来，有这种感觉的大概不只是我一个。我们区里就在市竞赛中吃了“鸭蛋”：一个名次也没有。痛定思痛，区里决定在暑假办补习班，力争明年打个翻身仗。我应该是有资格参加补习的，但区里认为我在物理上更有希望（换句话说：数学上超过我的人很多），决定让我集中补习物理。但是，我心里总觉得数学更有意思。
2．春江水暖
有一天晚上，我们物理补习班下课了。在离开的路上，走过数学班教室门口时，我看见我们另一个同学走了进去。我觉得奇怪，就在门口张望了一下。里面的老师就招手要我进去。原来他们正在测验。老师给了一张卷子，叫我也做做看。我当然不会做得很好，毕竟没听过课嘛。但是后来数学班的老师却说我有空的话可以参加他们的课。我就向物理班的老师提出，条件当然是不能影响物理班的上课和作业。这样，我“脚踏两只船”，过了一个紧张的暑假，并连续到开学以后。
终于，全市竞赛开始了。79年的竞赛更为正规，数学有一试，二试，物理和化学还有实验。区里派了面包车送我们去考场，中午联系到附近的中学休息，还发面包当午饭。当年那样的待遇，大概只有少年宫的成员和欢迎外宾的MM们才享受过。功夫不负有心人。我们区取得了很好的成绩。我也得以参加全国数学竞赛。（那年没有全国物理竞赛。）
全国竞赛的集训是集中住在大学里，每天早，中，晚都有课。生活是很紧张，但我们孩子们整天混在一起，倒也其乐融融。特别是一日三餐，标准比家里的高出不少，更觉得象过节似的。除了上课外，我们平时的话题也离不开数学。其实相互都是竞争者，但讨论起来没有一点保留，甚至放下自己的事帮助有困难的同学也是司空见惯的。那种气氛今天想来还是令人神往。
全国竞赛也分两试，分上，下午进行。考前有个著名数学家来考场走一圈。主考者要大家作奋笔疾书状，拍些“数学家看望考生”的照片。然后，考试才正式开始。
之后有一天，我们正在上课，学校的支部书记来到我们教室。他先把老师叫出去嘀咕了一阵，又叫我马上到他办公室去。我莫名其妙到了那里，才知道上面来了通知，我得了个不错的名次。说了几句感谢党的培养之类的话，回到教室时，已经下课了。同学们也从上课老师那里听到了消息，大家鼓掌，我的眼泪差点就出来了。
以后就是领奖，各级表扬，等等等等。唯一值得记一笔的是若干时间后在另一个活动中见到一位数学所的科学家。他知道我名字后，说还记得批过我的卷子，说我写得很整洁，看来那些题目对我不是很难。
3. 学无止境
相信对于我们这一代的人，刚刚粉碎四人帮的那几年都是一个值得纪念的年代。那是我们的人生从一个轨道转到另一个的时节。对我来说，数学竞赛是那一段生活中影响最深的事。
从最实际的层次说，数学竞赛给了我免试进大学的机会，使我避开了最讨厌，也最没有把握的政治考试。但是，我的得益还远远不止这些。
竞赛和准备的过程让我认识了许多老师和同学。很多老师的敬业精神使我铭记终身。区里集训班都是暑假和夜间开课的。那些老师们在自己学校工作以外，花了大量精力为我们备课，上课。那些年，有个车贴，饭贴就很不错了。我们学校的数学老师，和夫人两地分居，独自带着两个女儿住在教学大楼的两间教室里。常常我们讨论问题到晚上八九点。我们浸淫在数学中忘了饥饿并不奇怪。但是老师的两个女儿也没饭吃。这种牺牲是我有了自己的孩子后才能体会的。在参加全国竞赛集训前，我向区里的一个老师提到，他教的一种几何解题方法我很感兴趣，但是缺了很多课，希望能补一补。原来我是想拿一份讲义的。可是老师却提出利用午休时间到我们集训的大学来给我补课。于是，在两个星期中，每天中午老师冒着烈日，骑车数公里到我的宿舍来，给我讲课。好几次我都快睡着了，他还是孜孜不倦。现在想来，还是非常感动。当时我们学生的心目中，老师和神差不多，特别是集训班的老师，都是区里，市里的权威。可是就是这样一位老师，曾诚恳地对我们说：你们都应该超过我们。因为我们当年都不是最好的学生，否则就不会当中学老师了。这种话的境界，我是很多年之后才体会得到的。其实，他们的作为也是那个时代精神的折射。
集训中结识的很多同学，也成为我多年来的宝贵财富。有一个和我水平相若，常在一起切磋。他市竞赛没拿到名次，就没有参加全国竞赛。竞赛题公布后，他随手做了一下拿给我看，得分应该是相当高。这件事对我是一帖及时的清凉剂：别以为得了名次就是最高手了，其中很多是运气。
竞赛最大的收获，是改变了我对数学，甚至整个学习过程的看法。以前总以为完成了作业，考试得了高分，就是完成任务了。基本上是对书本和老师布置的被动反应。准备竞赛中，才发现即使初等数学的知识有限，但应用中变化无穷，其中也隐含很多数学的思考方法和分析策略。而且听一些大学老师来讲课，同样的知识概念，视角却很不同，才知道“山外有山”的意境。与学校里的上课和考试不同，集训中老师的教授和真正的竞赛是没有对应的。也就是说我们不能满足完成作业，必须自己想方设法发挥所有潜力。这就为今后的学习养成了一个好习惯。当时我就想，我们一天花在学习上有十几个小时。如果一辈子都能如此，不是比八小时工作多做很多吗？回想起来，离开学校后虽然有各种责任和干扰没有绝对坚持，但毕竟有这个“课外学习”的概念，还是收益不浅的。
因全国竞赛到北京领奖时，我去拜访一位长辈。他送我一副字：学无止境。这幅字，我一直挂在卧房中。